Nato a Vienna, Cornelius Obonya proviene da una dinastia di attori: i suoi genitori sono Elisabeth Orth e Hanns Obonya (morto nel 1978), i suoi nonni materni erano Paula Wessely e Attila Hörbiger.
A 17 anni frequenta il Max Reinhardt Seminar per studiare recitazione, ma lo lascia dopo un anno per studiare con il cabarettista Gerhard Bronner. Bronner è stato uno degli incontri più importanti della sua carriera, così come Emmy Werner, ex direttore del Volkstheater di Vienna, e Andrea Breth, con cui ha lavorato per molti anni alla Schaubühne di Berlino e anche al Burgtheater di Vienna. Cornelius Obonya è sposato con la regista Carolin Pienkos e padre del loro figlio Attila.
Per il suo primo ruolo al Volkstheater, Eugene in Brighton Beach Memoirs di Neil Simon, Cornelius Obonya ha ricevuto il premio Karl Skraup per i giovani talenti nel 1989; l'anno successivo ha ricevuto il premio O.E. Hasse. Ha già lavorato con Andrea Breth durante il suo impegno alla Schaubühne am Lehniner Platz di Berlino (1992-1999), seguito da Il mare di Edward Bond (Hollarcut), Emilia Galotti di Lessing (Pirro), Don Carlos di Schiller (Domingo), Il giardino dei ciliegi di Cechov (Trofimov), La gatta sul tetto che scotta di Tennessee Williams (Gooper) e Minna von Barnhelm di Lessing (Paul Werner) al Burgtheater dal 2000 in poi. Al Burgtheater, Cornelius Obonya ha interpretato anche anche sotto la direzione di Peter Zadek, Sven-Eric Bechtolf, Karin Beier, Carolin Pienkos, Anselm Weber, Stefan Bachmann e Falk Richter; è stato Caligola nell'omonima opera di Albert Camus (regia di Jan Lauwers), Herr von Rappelkopf in Der Alpenkönig und der Menschenfeind di Ferdinand Raimund (regia di Michael Schachermaier) e, più recentemente, Caio Marzio Coriolano nel Coriolano di Shakespeare (regia di Carolin Pienkos).
Nel 2008/2009 ha recitato e cantato nel musical di Broadway The Producers di Mel Brook al Ronacher di Vienna e all'Admiralspalast di Berlino. Nella stagione 2009/10 è stato ospite del Theater in der Josefstadt come insegnante in Jugend ohne Gott di Christopher Hampton basato su Ödön von Horváth (regia di Torsten Fischer). Nel 2010/11 ha ottenuto un grande successo con la sua serata solista Cordoba - Das Rückspiel di Florian Scheuba e Rubert Hennig al Teatro Rabenhof di Vienna. Ha ricevuto il "Salzburger Stier 2010" e una nomination per il "Premio speciale del Premio Nestroy 2010". Nello stesso anno è stato nominato "Attore dell'anno" dall'Austrian Broadcasting Corporation (Ö1). Nel 2012 e 2013 ha iniziato la sua collaborazione con il Walfischgasse City Theatre, dove è apparso nel ruolo di Andrew Wyke in Revanche di Anthony Shaffer e nel ruolo di Leroy Brooks nella prima mondiale di C(r)sah, scritto da Rupert Henning e diretto da Carolin Pienkos.
Cornelius Obonya ha debuttato al Festival di Salisburgo nel 2002 come Paul Kreindl nella produzione di Andrea Breth di Das weite Land di Schnitzler. Nel 2012 è stato Monsieur Jourdain nell'opera Ariadne auf Naxos di Richard Strauss/Hugo von Hofmannsthal, basata su Bürger als Edelmann di Molière nell'adattamento di Hugo von Hofmannsthal. Cornelius Obonya è stato celebrato come Jedermann nelle estati del Festival di Salisburgo dal 2013 al 2016.
Sul grande schermo, Obonya è apparso in Spagna (regia di Anja Salomonowitz), in Kottan ermittelt - rien ne va plus di Peter Patzak, in Egon Schiele (regia di Dieter Berner) e nel ruolo di Konrad in Die Trapp Familie - ein Leben für die Musik (regia di Ben Verbong). È apparso anche in numerose produzioni televisive, tra cui le serie poliziesche Tatort e CopStories, Nachtschicht di Lars Becker e film TV come Polt e Die Hebamme. Dal 2018 è apparso nella serie Meiberger - Im Kopf des Täters e nella serie poliziesca Altaussee su ServusTV. Ha inoltre girato per Costa-Gavras nel suo film Adults in the Room nel 2019.
