Der in Wien geborene Cornelius Obonya stammt aus einer Schauspielerdynastie: Seine Eltern sind Elisabeth Orth und Hanns Obonya (gest. 1978), seine Großeltern mütterlicherseits waren Paula Wessely und Attila Hörbiger.
Mit 17 Jahren ging er ans Max-Reinhardt-Seminar, um Schauspiel zu studieren, verließ es aber nach einem Jahr und lernte bei dem Kabarettisten Gerhard Bronner. Bronner gehörte zu den wichtigen Begegnungen in seiner Laufbahn ebenso wie Emmy Werner, die ehemalige Direktorin des Volkstheater Wien und Andrea Breth, mit der er viele Jahre an der Schaubühne Berlin und auch am Burgtheater Wien gearbeitet hat. Cornelius Obonya ist verheiratet mit der Regisseurin Carolin Pienkos und Vater des gemeinsamen Sohnes Attila.
Für seine erste Rolle am Volkstheater, den Eugene in Brighton Beach Memoirs von Neil Simon, wurde Cornelius Obonya 1989 mit dem Nachwuchspreis des Karl-Skraup-Preises ausgezeichnet; im folgenden Jahr erhielt er den O.E.Hasse-Preis. Mit Andrea Breth arbeitete er bereits während seines Engagements an der Berliner Schaubühne am Lehniner Platz (1992–1999) zusammen, am Burgtheater folgten ab 2000 u. a. Edward Bonds Die See (Hollarcut), Lessings Emilia Galotti (Pirro), Schillers Don Carlos (Domingo), Tschechows Der Kirschgarten (Trofimow), Tennessee Williams’ Die Katze auf dem heißen Blechdach (Gooper) und Lessings Minna von Barnhelm (Paul Werner). Am Burgtheater spielte Cornelius Obonya u. a. auch unter der Regie von Peter Zadek, Sven-Eric Bechtolf, Karin Beier, Carolin Pienkos, Anselm Weber, Stefan Bachmann und Falk Richter; er war der Caligula in Albert Camus’ gleichnamigem Stück (Regie: Jan Lauwers), Herr von Rappelkopf in Ferdinand Raimunds Der Alpenkönig und der Menschenfeind (Regie: Michael Schachermaier) und jüngst Caius Martius Coriolanus in Shakespeares Coriolan (Regie: Carolin Pienkos).
2008/2009 spielte und sang er in Mel Brooks Broadway-Musical The Producers im Ronacher in Wien sowie im Admiralspalast in Berlin. In der Spielzeit 2009/10 gastierte er am Theater in der Josefstadt als der Lehrer in Jugend ohne Gott von Christopher Hampton nach Ödön von Horváth (Regie: Torsten Fischer). Große Erfolge feierte er 2010/11 mit seinem Soloabend Cordoba – Das Rückspiel von Florian Scheuba und Rubert Hennig am Rabenhof Theater in Wien. Dafür erhielt er den „Salzburger Stier 2010“ und eine Nominierung für den „Spezialpreis des Nestroy-Preises 2010“. Im gleichen Jahr wurde er „Schauspieler des Jahres“ des Österreichischen Rundfunks (Ö1). 2012 und 2013 begann seine Zusammenarbeit mit dem Stadttheater Walfischgasse, wo er als Andrew Wyke in Revanche von Anthony Shaffer sowie als Leroy Brooks in der Uraufführung von C(r)sah, geschrieben von Rupert Henning, inszeniert ebenfalls von Carolin Pienkos, zu sehen war.
Bei den Salzburger Festspielen debütierte Cornelius Obonya 2002 als Paul Kreindl in Andrea Breths Inszenierung von Schnitzlers Das weite Land. Ebendort war er 2012 der Monsieur Jourdain in der Oper Ariadne auf Naxos von Richard Strauss/Hugo von Hofmannsthal, zu spielen nach dem Bürger als Edelmann des Molière in der Bearbeitung von Hugo von Hofmannsthal. Als Jedermann wurde Cornelius Obonya in den Salzburger Festspielsommern 2013 bis 2016 gefeiert.
Auf der Kinoleinwand war Obonya u.a. in Spanien (von Anja Salomonowitz), in Peter Patzaks Kottan ermittelt – rien ne va plus, in Egon Schiele (Regie: Dieter Berner) sowie als Konrad in Die Trapp Familie – ein Leben für die Musik (Regie: Ben Verbong) zu sehen. Er hat auch in zahlreichen TV-Produktionen mitgewirkt, u. a. in den Krimi-Serien Tatort und CopStories, Nachtschicht von Lars Becker sowie in TV-Filmen wie Polt oder Die Hebamme. Seit 2018 ist er in der Serie Meiberger – Im Kopf des Täters und in den Altaussee-Krimis auf ServusTV zu sehen. Weiters drehte er 2019 für Costa-Gavras in dessen Film Adults in the Room.
